分母含 x 的有理方程式

有理方程式計算機

解最多含兩種不同一次分母、分數相加與常數項的支援有理方程式，並保留所有定義域限制。

試試範例

支援哪些有理方程式？

支援 1/x + 1 = 2、x/(x - 2) + 3 = 5/(x - 2)、2/(x + 3) + 3/(x - 2) = 2。分子可為一次式，清除分母後必須能化為二次以下。

若含三種以上不同的變數分母，或清除分母後會形成三次以上方程式，計算機會明確標示為不支援，而不會猜測結果。

先確認定義域，再乘共同分母

先記錄所有會讓分母變成 0 的禁值，再乘共同分母，把式子化為一次或二次方程式。

每個候選解都會代回原有理方程式；會使分母為 0 或無法滿足原式的值都會被排除。

試試範例

輸入或貼上方程式後求解，不只看最後答案，也一起檢查步驟、驗算與圖形。

1/x + 1 = 2
x/(x - 2) + 3 = 5/(x - 2)
2/(x + 3) + 3/(x - 2) = 2
x/(x - 1) = 1/(x - 1)

完整解題範例

依照計算機使用的相同步驟，解出這一類方程式的三個範例。

1/x + 1 = 2

x = 1

  1. 排除會讓分母變成 0 的值：x≠0

    1/x+1=2 → x≠0

  2. 交叉相乘以消去分母

    1/x+1=2 → x+1=2x

  3. 等式兩邊同減 1

    -x+1=0 → -1x=-1

  4. 等式兩邊同除以 -1

    -1x=-1 → x=1

驗算通過

x/(x - 2) + 3 = 5/(x - 2)

x = 11/4

  1. 排除會讓分母變成 0 的值：x≠2

    x/(x-2)+3=5/(x-2) → x≠2

  2. 交叉相乘以消去分母

    x/(x-2)+3=5/(x-2) → 4x-6=5

  3. 等式兩邊同加 11

    4x-11=0 → 4x=11

  4. 等式兩邊同除以 4

    4x=11 → x=2.75

驗算通過

2/(x + 3) + 3/(x - 2) = 2

x = (3-√145)/4, x = (3+√145)/4

  1. 排除會讓分母變成 0 的值：x≠-3, x≠2

    2/(x+3)+3/(x-2)=2 → x≠-3, x≠2

  2. 交叉相乘以消去分母

    2/(x+3)+3/(x-2)=2 → 5x+5=2x^2+2x-12

  3. 計算判別式：D = 145

    -2x^2+3x+17=0 → D=145

  4. 把係數代入一元二次方程式公式

    D=145 → x=(-3±√145)/-4

  5. 化簡公式並得到實數根

    x=(-3±√145)/-4 → x=-2.260398644698 or x=3.760398644698

驗算通過

常見錯誤

  • 此種分母含變數的形式不在目前支援的有理方程式範圍內。
  • 方程式包含除以 0。
  • 把每個答案代回原方程式，比較左邊與右邊是否相等。

常見問題

這個計算機支援哪些方程式？
保留分母不為 0 的限制，並把候選解代回原式檢查。
答案如何驗算？
把每個答案代回原方程式，比較左邊與右邊是否相等。
哪些方程式不在支援範圍內？
三次以上多項式、對數、指數、三角方程式、巢狀根號與多個絕對值目前仍不支援。

驗算

把每個答案代回原方程式，比較左邊與右邊是否相等。

目前支援範圍

三次以上多項式、對數、指數、三角方程式、巢狀根號與多個絕對值目前仍不支援。

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